2026 新高考Ⅰ卷数学第19题：函数新定义与集合关系
好师来家教网一帆
作为高中数学老师，你有没有过这样的经历：有学生拿着2026年高考数学最后一题问：“老师，这个 D(x₀) 到底是什么意思？我看得懂每个字，但连起来就不知道从哪下手。”
难题 · 1 题 1 篇函数与导数新定义 + 反证法一、这道题，在家教课上怎么用？
这不是个别现象。新高考Ⅰ卷第 19 题这类“新定义 + 集合关系 + 函数性质”的压轴题，难点从来不是计算，而是读题、翻译、建模。学生卡住的地方，往往不是不会函数，而是不知道题目在问什么。
在家教课上，老师通常不会直接讲答案，而是先带学生做三件事：
- 翻译定义：把 D(x₀) 翻译成“让函数值变大的那些 d 组成的集合”；
- 画图辅助：把 f(x₀+d) 与 f(x₀) 的大小关系，转化成图像上的高低比较；
- 建立联系：把 D(x₀) 的包含关系，与函数的单调性、奇偶性建立联系。
二、题目呈现
已知函数 f(x) 的定义域为 R，且当 x＜0 时，f(x) ＝ 2ˣ，对任意 x₀ ∈ R，定义集合：
D(x₀) ＝ { d ∈ R | f(x₀ + d) ＞ f(x₀) }
（1）当 x ≥ 0 时，f(x) ＝ 1 − x，求 D(−1)；
（2）若 f(x) 是奇函数，f(x₁) ≤ f(x₂)，且 x₁x₂ ≠ 0，证明：D(x₂) ⊆ D(x₁)；
（3）设 f(x) 满足：① 若 f(x₁) ≤ f(x₂)，则 D(x₂) ⊆ D(x₁)；② 当 0 ＜ x ＜ 1 时，f(x) ＜ f(0)。
（i）证明：f(0) ≥ 1；（ii）证明：f(x) 在区间 (0, +∞) 单调递增。
三、难度定位
整体难度
高考压轴题水平，属于新高考Ⅰ卷第 19 题位置，难度高于常规导数题。
难点分布
第（1）问送分；第（2）问中等偏难；第（3）问是全卷最难的一档。
能力要求
阅读理解、定义翻译、分类讨论、反证法、构造法，综合性强。
四、母题分析
这道题表面上是“新定义集合”，但它的母题可以追溯到三类经典问题：
| 母题类型 | 经典形式 | 本题的变形 |
|---|---|---|
| 函数单调性的集合刻画 | 用 f(x₁) ≤ f(x₂) 刻画单调递增 | 用 D(x₂) ⊆ D(x₁) 反向刻画单调性 |
| 奇函数与分段函数 | 已知 x＜0 的解析式，利用奇偶性求 x＞0 | 先求解析式，再研究 D(x₀) 的包含关系 |
| 反证法与构造法 | 证明不等式恒成立，常构造反例 | 第（3）问用反证法证明 f(0) ≥ 1 与单调递增 |
五、涉及知识点
函数基础
- 分段函数的解析式求法
- 奇函数的定义与性质
- 函数单调性的定义
- 指数函数 2ˣ 的图像与性质
集合与逻辑
- 集合的包含关系
- 集合的翻译与建模
- 反证法
- 分类讨论思想
不等式
- 解指数不等式
- 解一次不等式
- 恒成立问题的转化
数学思想
- 转化与化归
- 数形结合
- 构造法
- 反证法
六、命题主要思路
这道题的命题思路，可以概括为“一个定义，三层递进”：
- 定义新集合 D(x₀)：用 f(x₀+d) ＞ f(x₀) 定义，本质是“函数值变大的方向”。
- 第一层：具体函数：给分段函数，求 D(−1)，考查定义翻译与不等式求解。
- 第二层：抽象函数：给奇函数与 f(x₁) ≤ f(x₂)，证明 D(x₂) ⊆ D(x₁)，考查集合包含与函数性质的联系。
- 第三层：存在性 + 单调性：给两个条件，反证 f(0) ≥ 1，并证明 f(x) 在 (0, +∞) 单调递增。
七、解题主要思路
这类新定义压轴题，通用解题路径可以总结为四步：
第 1 步：翻译定义
把符号语言翻译成自然语言。D(x₀) 就是“让 f 变大的 d 的集合”。
第 2 步：画图辅助
把 f(x₀+d) ＞ f(x₀) 转化成图像上“右边比左边高”。
第 3 步：分类讨论
按 x₀ 的正负、d 的正负分类，避免漏解。
第 4 步：反证与构造
证明存在性或单调性时，先假设不成立，构造反例导出矛盾。
八、可能的演化方向
| 演化方向 | 具体变式 | 考查点 |
|---|---|---|
| 改变新定义 | 把 D(x₀) 改成 f(x₀+d) ＜ f(x₀) | 定义翻译与反向思维 |
| 改变函数类型 | 把指数函数换成对数函数或三角函数 | 函数性质迁移 |
| 改变集合关系 | 把包含关系改成相等关系 | 集合运算与函数性质 |
| 改变条件 | 把奇函数改成偶函数 | 对称性与单调性 |
| 改变结论 | 证明 D(x₀) 是空集或无限集 | 集合性质与函数值域 |
| 结合导数 | 用导数判断 D(x₀) 的端点 | 导数与单调性综合 |
九、可能的易错点与易考点
易错点
- 读不懂 D(x₀) 的定义，直接放弃
- 忽略 x₀+d 与 x₀ 的大小关系
- 分类讨论不全，漏掉 x₀ ＝ 0 的情况
- 奇函数求解析式时符号写错
- 反证法假设写反
- 构造反例时取值不满足条件
易考点
- 新定义的翻译与建模
- 分段函数解析式
- 奇函数的性质
- 集合包含关系的证明
- 反证法与构造法
- 函数单调性的证明
十、学习目标
学完这个专题，你应该能：
- 独立翻译“新定义集合”类问题，把它转化成函数值比较；
- 利用奇偶性求分段函数解析式；
- 把集合包含关系翻译成函数性质；
- 用反证法证明存在性问题；
- 用构造法证明函数单调性。
十一、FAQ
11.1 与该题相关
D(x₀) 这个定义到底在说什么？
D(x₀) 就是“所有让 f(x₀+d) 大于 f(x₀) 的 d 组成的集合”。换句话说，从 x₀ 出发，往右（d＞0）或往左（d＜0）走，只要函数值变大，这个 d 就属于 D(x₀)。
它的本质是：描述函数在 x₀ 附近“上升”的方向集合。
为什么第（2）问要分 x₁、x₂ 的正负讨论？
因为 f(x) 是奇函数，而奇函数在 x＜0 和 x＞0 上的解析式不同。D(x₂) 和 D(x₁) 的包含关系，依赖于 f 在对应区间的单调性，而单调性又和 x 的正负有关。
不分正负，就无法确定 f(x₀+d) 与 f(x₀) 的大小关系。
第（3）问为什么要用反证法？
因为题目给的是“条件① + 条件②”，要证明“f(0) ≥ 1”。直接证明需要知道 f(0) 的具体值，但题目没给。
反证法可以先假设 f(0) ＜ 1，然后构造一个满足条件①和②的 x 值，导出矛盾。这是处理“存在性 + 抽象函数”问题的常用方法。
第（3）问证明单调递增，为什么先证 f(x) ≤ 0？
因为要证明 f(x) 在 (0, +∞) 单调递增，需要比较 f(x₁) 和 f(x₂) 的大小。如果不知道 f(x) 的符号，就无法判断 D(x₀) 的包含关系。
先证 f(x) ≤ 0，是为了给后续构造单调性证明提供符号基础。
这类题和导数题有什么关系？
本质上都是研究函数的变化趋势，但导数题用“导数符号”判断单调性，这类题用“集合包含关系”判断单调性。
两者可以互相转化。如果 f 可导，D(x₀) 的端点往往和 f′(x₀) ＝ 0 有关。这也是这类题可能的演化方向之一。
如果考试遇到类似题，第一步该做什么？
第一步永远是翻译定义。把题目中的符号语言，翻译成你熟悉的自然语言或图像语言。
例如把“D(x₂) ⊆ D(x₁)”翻译成“只要 f(x₂+d) ＞ f(x₂)，就有 f(x₁+d) ＞ f(x₁)”。翻译完，题目就变成了一道函数性质题。
11.2 该科目家教事项
函数压轴题一般需要几次课？
取决于学生基础和目标：
- 基础较好：2–3 次专题课，重点练“新定义翻译”和“集合关系转化”。
- 基础一般：4–6 次课，先补函数性质，再练综合题。
- 基础薄弱：需要更长时间，先过函数基础，再碰压轴题。
压轴题做不出来，是不是数学就学不好了？
不是。压轴题考查的是综合能力，和“数学好不好”不是一回事。
很多学生基础扎实，只是没练过“新定义”类题型。这类题有固定的拆解路径，练几次就能上手。
家长怎么判断孩子是否掌握了这类题？
不要只问“做对了吗”，可以让孩子：
- 用自己的话解释 D(x₀) 是什么意思；
- 说出第（2）问为什么要分正负讨论；
- 复述反证法的假设和矛盾点。
能讲清楚“为什么”，就是真掌握。
什么样的老师可以胜任这样的课程？大学生家教可以吗？
类似这种压轴题目，极个别优秀的大学生没有问题，但长期不进行训练，可能出现做出讲不出的情况。个人更建议选择专职高中数学辅导老师，时间有保障，能力也没有问题。
