2026 年全国统一高考数学（新高考Ⅰ卷）第 17 + 14 题：概率递推与数列递推，家教课上怎么对比讲？
好师来家教网一帆
中档题的第一组讲完了，接下来看概率和数列。这两道题，一道考投篮停止条件，一道考数列连续 9 项成等比。看起来一个考概率，一个考数列，但都有“递推”结构。抓住递推，就抓住了这两道题的核心。
中档 · 2 题 1 篇概率递推 + 数列递推递推结构 + 条件翻译一、这两道题，在家教课上怎么用？
中等题里，最容易被学生“跳过”的，就是这类“看起来像应用题”的题。学生看到“投篮练习”“一百零八塔”“数列连续 9 项”，第一反应是“这题好长”，然后直接放弃。但其实，这两道题的真正难点不在背景，而在“把背景翻译成递推关系”。
在家教课上，把这两道题并列讲效果会更好一些，，同样，我们依然建议带学生做三件事：
- 对比条件类型：一道给的是“停止条件”，一道给的是“连续 9 项成等比”；
- 对比翻译方式：一道翻译成“前 k 次都没中”，一道翻译成“连续三项的递推关系”；
- 对比易错点：一道容易漏掉“N 次均未投中”，一道容易忽略“连续 9 项不能包含三组完整三项”。
二、题目呈现
第 17 题（概率递推，15 分）
设整数 N ≥ 2，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 N 次。当且仅当投中 1 次时，或 N 次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 p（0 ＜ p ＜ 1），各次投中与否相互独立，记 X 为停止练习时该同学的投篮次数。
（1）当 N ＝ 4，p ＝ 1/3 时，求 X 的分布列；
（2）设 k，m 均为自然数。
（i）当 k ≤ N − 1 时，求 P(X ＞ k)；
（ii）当 k + m ≤ N − 1 时，证明：P(X ＞ k + m | X ＞ k) ＝ P(X ＞ m)。
第 14 题（数列递推，5 分）
设实数 q 满足：存在数列 {aₙ}，使得对于任意 n ∈ N*，均有 a₁ + a₂ + … + a₃ₙ ＝ n² + n，且 {aₙ} 中有某连续 9 项 aₖ, aₖ₊₁, …, aₖ₊₈ 是公比为 q 的等比数列，则 q 的最大值为 ________。
三、难度定位
第 17 题
中档。第（1）问分布列；第（2）（i）求递推；第（2）（ii）条件概率证明。
第 14 题
中档。数列递推 + 等比性质，计算量不大，但条件翻译要求高。
两题共同点
都是“递推结构”题，都是“条件翻译”题，都是中档题。
四、两题对比：这是本篇的核心
| 维度 | 第 17 题（概率递推） | 第 14 题（数列递推） |
|---|---|---|
| 背景类型 | 投篮停止条件 | 数列连续 9 项成等比 |
| 核心条件 | “投中 1 次”或“N 次均未投中” | “连续 9 项”成等比 |
| 翻译方式 | 翻译成“前 k 次都没中” | 翻译成“连续三项的递推关系” |
| 主要工具 | 独立事件概率、条件概率 | 前 n 项和与通项关系、等比性质 |
| 易错点 | 漏掉“N 次均未投中” | 忽略“连续 9 项不能包含三组完整三项” |
| 解题路径 | 翻译条件 → 求概率 → 验证递推 | 翻译条件 → 找递推 → 求 q |
五、涉及知识点
第 17 题：概率
- 独立事件概率
- 离散型随机变量分布列
- 条件概率
- 概率递推
第 14 题：数列
- 前 n 项和与通项关系
- 等差数列与等比数列
- 等比数列的性质
- 连续三项的递推关系
共同知识点
- 条件翻译与建模
- 递推结构识别
- 分类讨论思想
数学思想
- 转化与化归
- 递推思想
- 整体思想
六、命题主要思路
第 17 题的命题思路
- 第一层：分布列：N ＝ 4，p 已知，求 X 的分布列。
- 第二层：递推：求 P(X ＞ k)，本质是“前 k 次都没中”。
- 第三层：条件概率：证明 P(X ＞ k + m | X ＞ k) ＝ P(X ＞ m)，考查条件概率的递推结构。
第 14 题的命题思路
- 第一层：前 n 项和：由 S₃ₙ ＝ n² + n，求出连续三项的和的表达式。
- 第二层：连续 9 项：连续 9 项中，至少有两组连续三项。
- 第三层：求 q 的最大值：由两组连续三项的关系，推出 q 的范围。
七、解题主要思路
两道题的通用解题路径可以总结为四步：
第 1 步：翻译背景
把“停止条件”翻译成“前 k 次都没中”；把“连续 9 项”翻译成“连续三项的组合”。
第 2 步：找递推结构
第 17 题找“X ＞ k”的递推；第 14 题找“连续三项和”的递推。
第 3 步：用工具计算
第 17 题用独立事件概率公式；第 14 题用等比数列性质。
第 4 步：验证范围
求出结果后，验证是否符合条件，尤其是 q 的范围和 n 的取值。
八、可能的演化方向
| 演化方向 | 具体变式 | 考查点 |
|---|---|---|
| 第 17 题：改背景 | 把投篮换成掷骰子或抽球 | 背景翻译能力 |
| 第 17 题：改条件 | 把“投中 1 次”改成“投中 2 次” | 递推结构变化 |
| 第 17 题：改结论 | 求 X 的数学期望 | 期望与递推 |
| 第 14 题：改条件 | 把“连续 9 项”改成“连续 6 项” | 递推结构变化 |
| 第 14 题：改结论 | 求 q 的最小值 | 范围分析 |
| 两题结合 | 把概率递推与数列递推结合 | 递推思想综合 |
九、可能的易错点与易考点
易错点
- 第 17 题：漏掉“N 次均未投中”的情况
- 第 17 题：条件概率公式用错
- 第 17 题：把“X ＞ k”翻译成“前 k 次都没中”时，忽略“停止条件”
- 第 14 题：忽略“连续 9 项不能包含三组完整三项”
- 第 14 题：前 n 项和与通项关系用错
- 第 14 题：q 的范围没有验证
易考点
- 独立事件概率
- 离散型随机变量分布列
- 条件概率
- 前 n 项和与通项关系
- 等比数列的性质
- 递推结构的识别与翻译
十、学习目标
学完这个专题，你应该能：
- 把“停止条件”翻译成概率递推；
- 用条件概率公式证明递推关系；
- 用前 n 项和与通项关系求数列的通项；
- 把“连续 9 项成等比”翻译成连续三项的递推关系；
- 判断中档递推题的题型结构，选择合适的工具。
十一、FAQ
11.1 与该题相关
第 17 题，“停止练习”这个条件怎么翻译？
“停止练习”有两种情况：投中 1 次，或者 N 次均未投中。所以 X ＞ k 的意思是：前 k 次投篮都没有投中，并且还没到停止条件。
翻译成概率就是：前 k 次都没中，所以 P(X ＞ k) ＝ (1 − p)ᵏ。这是本题的关键翻译。
第 17 题第（2）（ii）问，条件概率怎么证明？
P(X ＞ k + m | X ＞ k) 表示：在前 k 次都没中的条件下，前 k + m 次也都没中的概率。
由于各次投篮相互独立，前 k 次的结果不影响后面 m 次的结果，所以这个条件概率就等于前 m 次都没中的概率，即 P(X ＞ m)。
这就是“无记忆性”，是几何分布的核心性质。
第 14 题，为什么连续 9 项不能包含三组完整三项？
因为连续 9 项最多只能包含两组完整的“连续三项”（例如第 1–3 项和第 4–6 项），第三组（第 7–9 项）和第 1–3 项之间会重叠。
如果连续 9 项中包含三组完整三项，就意味着第 1 项和第 7 项之间会形成额外的等比关系，这会导致 q 的取值受限。命题人正是利用这一点来限制 q 的范围。
第 14 题，前 n 项和与通项关系怎么用？
题目给的是 S₃ₙ ＝ n² + n，要求连续三项的和，可以用 S₃ₙ₊₃ − S₃ₙ 得到。
计算得：a₃ₙ₊₁ + a₃ₙ₊₂ + a₃ₙ₊₃ ＝ 2n + 2。这就是连续三项和的表达式。
这是“前 n 项和与通项关系”的标准用法。
这两道题有什么共同点？
两道题都是“递推结构”题。第 17 题把“停止条件”翻译成概率递推；第 14 题把“连续 9 项成等比”翻译成数列递推。
递推结构，是中档题的通用结构。练好翻译，比多刷题更有用。
为什么这两道题要放在一起讲？
因为一道是概率，一道是数列，放在一起，学生更容易看出“递推结构”的通用逻辑。
概率题和数列题，翻译逻辑是一样的：先翻译背景，再找递推，最后计算。
11.2 该科目家教事项
概率与数列中档题一般需要几次课？
取决于学生基础和目标：
- 基础较好：1–2 次专题课，重点练“条件翻译”和“递推结构”。
- 基础一般：3–4 次课，先补概率公式和数列递推，再练综合题。
- 基础薄弱：需要更长时间，先过独立事件、条件概率、数列递推，再碰中档题。
概率递推和数列递推，哪个更难？
没有绝对难易，取决于学生的思维习惯。擅长概率计算的学生，概率递推顺手；擅长数列运算的学生，数列递推顺手。
两类题都要练，因为高考两道都会考。建议先练自己弱的那一类。
家长怎么判断孩子是否掌握了这类题？
不要只问“做对了吗”，可以让孩子：
- 用自己的话翻译“停止条件”和“连续 9 项成等比”；
- 说出每一步用了哪个公式；
- 解释为什么条件概率等于 P(X ＞ m)。
能讲清楚“为什么”，就是真掌握。
