2026 新高考Ⅰ卷数学第10+13题：立体几何多选与三角函数填空，家教课上怎么对比讲？
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概率和数列讲完了，接下来看多选和填空。这两道题，一道是空间中的二面角，一道是三角函数的奇偶性与单调性。看起来一个考空间，一个考函数，但都在考同一件事：条件给得不多，但每个条件都要用全。多选和填空，最忌讳漏条件。
中档 · 2 题 1 篇立体几何多选 + 三角函数填空条件用全 + 分类讨论一、这两道题，在家教课上怎么用？
多选和填空，是学生最容易“掉以轻心”的题型。多选以为“选一个就行”，填空以为“写个答案就行”，结果条件没用全，或者漏了一种情况，分数就没了。
在辅导学生时，可以把这两道题并列讲，带学生做以下三件事：
- 对比条件类型：一道给的是空间距离与二面角，一道给的是奇偶性与单调性；
- 对比翻译方式：一道翻译成空间向量或几何关系，一道翻译成三角函数的对称轴与周期；
- 对比易错点：一道容易漏选项，一道容易漏 a 的取值。
二、题目呈现
第 10 题（立体几何多选，6 分）
在空间中，A，B 为两个定点，动点 C 到直线 AB 的距离为 2，动点 D 到直线 AB 的距离为 1。若二面角 C−AB−D 为 60°，则（ ）
A. ∠CAD ≥ 60°
B. CD 存在最小值
C. 当 AB ⊥ CD 时，CD ⊥ 平面 ABD
D. 当 AB ⊥ 平面 ACD 时，AC ⊥ AD
第 13 题（三角函数填空，5 分）
已知 f(x) ＝ 2sin(ax + θ)（a ∈ N，0 ≤ θ ＜ 2π）是偶函数，f(x) 在区间 (0, π/2) 单调递增，则 θ ＝ ________，f(π/2) ＝ ________。
三、难度定位
第 10 题
中档偏难。多选，四个选项各有考点，容易漏选或错选。
第 13 题
中档。偶函数 + 单调递增，需要分类讨论 a 和 θ。
两题共同点
都是“条件用全”题，都是中档题，都是“漏一个条件就错”。
四、两题对比：这是本篇的核心
| 维度 | 第 10 题（立体几何多选） | 第 13 题（三角函数填空） |
|---|---|---|
| 题型 | 多选 | 填空 |
| 核心条件 | 到直线 AB 的距离、二面角 60° | 偶函数、单调递增 |
| 翻译方式 | 翻译成空间向量或几何关系 | 翻译成对称轴、周期、单调区间 |
| 主要工具 | 空间向量、线面垂直判定 | 三角函数图像与性质 |
| 易错点 | 漏选项、线面关系判断错 | 漏 a 的取值、θ 判断错 |
| 解题路径 | 建系 → 翻译条件 → 逐项判断 | 偶函数 → 求 θ → 单调性 → 求 a |
五、涉及知识点
第 10 题：立体几何
- 空间中点到直线的距离
- 二面角的定义
- 空间向量法
- 线面垂直的判定
第 13 题：三角函数
- 三角函数的奇偶性
- 三角函数的对称轴
- 三角函数的单调性
- 三角函数的周期
共同知识点
- 条件翻译与建模
- 分类讨论思想
- 数形结合
数学思想
- 转化与化归
- 分类讨论
- 数形结合
六、命题主要思路
第 10 题的命题思路
- 第一层：建系：以 A 为原点，AB 为 z 轴，建立空间直角坐标系。
- 第二层：翻译条件：C 到 AB 的距离为 2，D 到 AB 的距离为 1，二面角为 60°，分别翻译成坐标关系。
- 第三层：逐项判断：对 A、B、C、D 四个选项，逐一判断真假。
第 13 题的命题思路
- 第一层：偶函数：由偶函数推出 θ 的可能取值。
- 第二层：单调递增：由单调递增推出 a 的取值范围。
- 第三层：求值：代入 θ 和 a，求 f(π/2)。
七、解题主要思路
两道题的通用解题路径可以总结为四步：
第 1 步：翻译条件
把“距离”翻译成坐标关系，把“偶函数”翻译成对称轴。
第 2 步：建立模型
第 10 题建系，第 13 题画三角函数图像。
第 3 步：分类讨论
第 10 题按 z₁、z₂ 分类，第 13 题按 θ 和 a 分类。
第 4 步：逐项验证
多选逐项判断，填空逐项验证，确保条件用全。
八、可能的演化方向
| 演化方向 | 具体变式 | 考查点 |
|---|---|---|
| 第 10 题：改条件 | 把二面角改成 45° 或 90° | 空间关系变化 |
| 第 10 题：改结论 | 求 CD 的最小值 | 最值处理 |
| 第 13 题：改条件 | 把偶函数改成奇函数 | 奇偶性迁移 |
| 第 13 题：改结论 | 求 f(x) 的单调递减区间 | 单调性综合 |
| 两题结合 | 把三角函数放入空间图形中 | 空间与函数综合 |
| 结合导数 | 用导数判断三角函数单调性 | 导数与三角函数综合 |
九、可能的易错点与易考点
易错点
- 第 10 题：漏选或多选，多选要逐项判断
- 第 10 题：线面垂直判定条件写错
- 第 10 题：建系时坐标设错
- 第 13 题：偶函数推出 θ 时漏解
- 第 13 题：单调递增推出 a 时忽略 a ∈ N
- 第 13 题：代入求值时符号写错
易考点
- 空间向量法
- 二面角的定义
- 线面垂直判定
- 三角函数的奇偶性
- 三角函数的单调性
- 分类讨论
十、学习目标
学完这个专题，你应该能：
- 用空间向量法判断空间中点、线、面的位置关系；
- 判断多选选项中哪些一定成立，哪些不一定成立；
- 由三角函数的奇偶性求参数；
- 由三角函数的单调性求参数范围；
- 判断中档多选和填空题的题型结构，选择合适方法。
十一、FAQ
11.1 与该题相关
第 10 题，为什么要建系？
因为题目给了“到直线 AB 的距离”和“二面角”，这些条件用几何法画图比较抽象，但用空间向量法翻译成坐标关系，就非常清晰。
以 A 为原点，AB 为 z 轴建系后，C 和 D 的坐标可以写成含参数的形式，再用距离和二面角条件确定参数关系。
第 10 题，A 选项为什么不对？
当 C 和 D 在 AB 方向上的坐标都趋于无穷大时，射线 AC 和 AD 都趋近于与 AB 平行，此时 ∠CAD 趋近于 0°，小于 60°。
所以“∠CAD ≥ 60°”不一定成立。多选里，只要找到一个反例，选项就不对。
第 13 题，偶函数为什么能推出 θ 的取值？
因为 f(x) ＝ 2sin(ax + θ) 是偶函数，意味着 f(−x) ＝ f(x)。对于正弦函数，偶函数对应的是 cos 型函数，所以 θ 必须是 π/2 或 3π/2。
再由单调递增的条件，排除其中一个，确定 θ 的最终取值。
第 13 题，单调递增为什么能确定 a？
因为 f(x) 在 (0, π/2) 上单调递增，所以这个区间必须落在函数的一个单调递增区间内。
结合 a ∈ N，可以推出 a 的可能取值，再逐一验证，最终确定 a。
这两道题有什么共同点？
两道题都是“条件用全”题。第 10 题每个选项都对应一个空间条件；第 13 题每个条件都对应一个参数。
条件用全，是中档多选和填空题的通用能力。练好用全，比多刷题更有用。
为什么这两道题要放在一起讲？
因为一道是空间，一道是函数，放在一起，学生更容易看出“条件用全”的通用逻辑。
空间题和函数题，条件用全的逻辑是一样的：先翻译条件，再分类讨论，最后逐项验证。
11.2 该科目家教事项
多选和填空题一般需要几次课？
取决于学生基础和目标：
- 基础较好：1–2 次专题课，重点练“条件用全”和“分类讨论”。
- 基础一般：3–4 次课，先补空间向量和三角函数，再练综合题。
- 基础薄弱：需要更长时间，先过基础概念，再碰中档题。
多选总是漏选，是理解问题还是习惯问题？
多数是习惯问题。很多学生看到一个选项对了，就不看其他选项了。
建议养成“逐项判断”的习惯：每个选项都要单独判断，不要因为一个选项对了就跳过其他选项。
家长怎么判断孩子是否掌握了这类题？
不要只问“做对了吗”，可以让孩子：
- 说出每个条件是怎么翻译的；
- 解释为什么要分类讨论；
- 复述每个选项的判断依据。
能讲清楚“为什么”，就是真掌握。
